材料力学新算法系列讲座（三）：连续分段独立一体化积分法

李银山

(河北工业大学 机械工程学院 工程力学系，天津300401)

摘要：提出了一种解决杆件结构弯曲变形问题的创新算法—连续分段独立一体化积分法。此算法是材料力学与计算机编程有机结合的一种快速解析法。本系列讲座通过材料力学与计算机编程的有机结合，对材料力学的教学方法进行有效改革, 强化对学生的能力培养, 收到了较好的效果。传统算法和现代算法并重，学习传统算法便于理解材料力学基本原理，采用现代算法可以快速，准确解决工程问题，提高效率。

关键词：创新算法，Maple，截面法, 剪力图,弯矩图

第三讲

截面法与连续分段独立一体化积分法

梁的弯曲内力和弯曲变形是材料力学中两大教学重点和难点，其是解决梁的弯曲强度和刚度问题的基础，也是求解弯曲超静定问题所必须。计算梁的弯曲内力通常采用截面法。朱九成（1997）^[1]推导了剪力弯矩载荷之间微分关系的一般公式。张翼飞等（1998）^[2] 研制了一种材料力学CAI辅学课件画剪力图和弯矩图。赵明波（2007）^[3]研究了Maple在连续梁内力图仿真中的应用。朱伊德（2013）^[4] 讨论了用待定系数法计算梁弯曲变形和内力的简易方法。杜建成等（2006）^[5]用Maple求解折梁问题。

截面法在求弯曲内力时通常先要列出平衡方程，其过程冗长。而用手工来求解方程组非常繁琐^[1~5]。随着人工智能专家系统的不断发展，代表人工智能技术在数学领域的应用典范—计算机代数系统，伴随着计算机技术的不断发展而迅速崛起。Maple、Mathematica、 Matlab、MathCAD等都是非常实用高效的计算机代数系统，具有很强的符号运算、数值计算、图形、编程等功能，及友好方便的人机交互界面，因此被广泛应用于科学研究、工程应用和辅助教学等^[6~19]。如用计算机编程来求解方程组求弯曲内力就显得会轻松自如。

新算法：连续分段独立一体化积分法求解弯曲内力问题不需要求出支座约束力，从而使建模简单化，编程程式化，利用电脑计算快速化。

1.截面法求解弯曲内力问题^[20~22]

1.1符号约定

符号说明如下：

① 载荷集度q：向上为正,“+”。

② 剪力Fs：左上右下为正，“+”； 

③ 弯矩M：左顺右逆为正，“+”；

④ 转角θ：逆时针为正“+”；

⑤ 挠度ν：向上为正,“+”。

⑥集中力F：向上为正，“+”；

⑦分布力偶m：逆时针为正，“+”；

⑧集中力偶Me：逆时针为正，“+”；

⑨弹性模量E

⑩截面惯性矩I。

1.2 截面法

1.2.1 求解弯曲内力的截面法

计算在梁上的剪力与弯矩的方法通常用截面法，可概括如下：

(i)截 假想沿关注的横截面将梁切开；

(ii)取 留下左半段或右半段；

(iii)代 将弃去部分对留下部分的作用用内力代替；

(iv)平 对留下部分写平衡方程，求出内力的值。

计算剪力，由平衡方程

计算弯矩，式中为所切横截面的形心。

1.2.2剪力图与弯矩图

为了描述剪力与弯矩沿梁轴的变化情况，沿梁轴选取坐标表示横截面的位置，并建立剪力、弯矩与坐标间x的解析关系式，即

剪力、弯矩沿梁轴变化的解析表达式，分别称为剪力函数与弯矩函数。

表示剪力与弯矩沿梁轴变化情况的另一重要方法为图示法。作图时，以x为横坐标轴，以剪力F_s或弯矩M为纵坐标轴，分别绘制剪力与弯矩沿梁轴变化的图线。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线，分别称为剪力图与弯矩图。画剪力图和弯矩图时应注意：

⑴ 剪力图画在原图的下面，弯矩图画在剪力图的下面，上下对齐，并标出坐标X-F_s轴和X-M。

⑵ 须标出剪力F_s和弯矩M的正负号，用小圆圈住。

⑶ 要标出剪力F_s和弯矩M的区域用细竖线表示。

⑷ 要标出剪力F_s和弯矩M的单位。

⑸ 要标出剪力F_s和弯矩M突变处的值。

1.2.3剪力、弯矩与载荷集度间的关系

剪力、弯矩与载荷集度的微分关系如下：

剪力、弯矩与载荷集度的积分关系如下：

上述关系表明：X₂截面上的剪力F_S2等于X1截面上的剪力F_S1加上两截面之间分布载荷图的面积；X₂截面上的弯矩M₂等于截面X₁上的弯矩M₁加上两截面之间剪力图的面积。

1.3 例题讲解

例题3.1承受集中力2F和集中力偶M_e=Fa的简支梁，如图3.1a所示。梁弯曲刚度EI、长度a、载荷F等均为已知。试求梁的剪力方程和弯矩方程，并计算点E截面处的内力。 

解：采用截面法

第1步 列平衡方程确定梁约束力

首先，应用平衡方程求得梁在支承、二处的约束力分别如图3.1b中所示。

第2步 用截面法分段建立梁的剪力函数和弯矩函数

(a) 承受复杂载荷的简支梁

(b)支座约束力

(c)截面法

图3.1梁的弯曲内力

综上所述得到：

第3步计算点E截面处的内力。 

将X=3a/2代入式(3.17) 和式(3.18)得

2.截面法与Maple软件的结合^{[17，23，24]}

2.1建模（截面法）

现在我们利用截面法与Maple编程相结合解例题3.1如下：

① 列平衡方程求支座约束力；

② 建立载荷集度函数；

③ 截面法建立剪力函数；

④ 截面法建立弯矩函数；

⑤ 计算点截面处的内力。 

Maple编程计算结果与手算结果完全相同,见式(3.19)。

2.2 Maple程序（截面法）

3.连续分段独立一体化积分法求解弯曲内力问题^[25~31]

3.1连续分段独立一体化积分法

李银山等（2013年）^[25~27]提出了一种解决结构变形问题的快速解析新算法—连续分段独立一体化积分法。该法首先将梁进行连续分段，独立建立具有四阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独立积分四次，得到挠度的通解。根据边界条件，确定积分常数，根据剪力弯矩与挠度直接的关系，得到剪力和弯矩方程。图3.2是连续分段独立一体化积分法求弯曲内力的流程图。

基本方程如下：

基本关系如下：

微分关系

图3.2连续分段独立一体化积分法求解弯曲内力问题流程图

积分关系

边界条件(两种类型)：

连续光滑条件(四种基本类型):

3.2建模 （连续分段独立一体化积分法）

现在我们用连续分段独立一体化积分法解例题3.1如下：

① 建立挠度的（载荷集度型）四阶导数微分方程；

② 积分一次得剪力方程的通解；

③ 积分二次得弯矩方程的通解；

④ 积分三次得转角方程的通解；

⑤ 积分四次得挠度方程的通解；

⑥ 根据边界条件和连续条件确定积分常数；

⑦ 提取剪力函数；

⑧ 提取弯矩函数；

⑨ 计算简支梁指定截面的剪力F_SE、弯矩M_E。

⑩ 绘剪力图和弯矩图。

连续分段独立一体化积分法计算结果与手算结果完全相同,见式(3.19)。用连续分段独立一体化积分法绘制的转角图和挠度图如图3.3所示。

图3.3梁的弯曲内力图

3.3 Maple程序（连续分段独立一体化积分法）

4.结论

4.1截面法+Maple编程加快了计算速度

截面法主要的繁琐计算在于手工解方程组，用截面法与Maple编程相结合，用电脑解方程组求内力既简单、又速度快。

4.2连续分段独立一体化积分法求弯曲内力是材料力学的逆解法

截面法求解弯曲内力问题需要先列平衡方程求出支座约束力，连续分段独立一体化积分法不需要。

截面法求弯曲内力思路如下：

支座约束力→剪力F_s(x)→弯矩M(x)，q(x)→F_s(x)→M(x)是积分过程；

连续分段独立一体化积分法求弯曲内力思路：

v(x)→θ(x)→M(x)→F_s(x)是微分过程。

4.3连续分段独立一体化积分法+Maple编程既建模简单、又计算速度快。

连续分段独立一体化积分法求解梁的弯曲内力，建模简单化，编程程式化，计算快速化，结果解析化，图形一体化。

4.4材料力学+Maple编程如虎添翼

材料力学与Maple编程相结合，建模简单，计算速度快，能够得到解析解。材料力学创新教学法融解决工程问题的全过程于一体，包括：力学建模、数学建模、计算机编程、符号运算、数值计算、计算机绘图等各个阶段，是尝试培养应用型、复合型、高素质人才的全过程创新实践。

下一讲预告：

第4讲：平衡方程法与连续分段独立一体化积分法。

参考文献

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[28] 李银山，李彤，郭晓欢等.索－梁耦合超静定结构的一种快速解析法，工程力学，2014，31：11~16

[29] 李银山，官云龙，李彤等.求解变截面梁变形的快速解析法，工程力学，2015，32：116~121

[30] 李银山，韦炳威，李彤等.复杂载荷下变刚度超静定梁快速解析求解，工程力学，2016，33：33~38

[31] 李银山，孙凯，贾佩星等.复杂载荷下多层刚架的快速解析求解，工程力学，2017，34：11~18

李银山教授专栏

专栏链接：https://www.koushare.com/topic-sc/i/Li-Yinshan

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编辑：黄琦

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